Em Schwingungen

*Größe*	*Formelzeichen*	*Einheit*	*Einheitenzeichen/Wert*
Induktivität	L	Henry	H
Kapazität	C	Farad	F
Elastizitätskonstante	D	Newton/Meter	N/m
Auslenkung	s	Meter	m

Bild 1 zeigt den zeitlichen Verlauf der Spannung am Kondensator, wenn dieser über einen Widerstand entladen wird. Die Kurve nach Bild 2 ergibt sich, wenn der Kondensator – wie oben beschrieben – über eine Spule entladen wird; es entsteht eine gedämpfte Schwingung, weil durch den ohmschen Widerstand der Spule Energie in Wärme umgewandelt wird. Auch die oben rechts als Analogie gezeigte mechanische Schwingung ist gedämpft, weil hier durch Reibung Schwingungsenergie verloren geht.

Die Anordnung aus Kondensator und Spule bezeichnet man als elektromagnetischen Schwingkreis. Er schwingt – ebenso wie das mechanische Analogon – mit einer bestimmten Frequenz.

Wenn der Schalter in der obigen Abbildung geschlossen ist, liegt am Kondensator und an der Spule die gleiche Spannung U:

Um die Ladung aus dieser Gleichung zu eliminieren und durch die leichter messbare Stromstärke I zu ersetzen, leitet man die Gleichung ab:

Man erhält so eine Gleichung, die eine Variable (I) und deren 2. Ableitung (Ï) enthält. Eine solche Gleichung nennt man Differenzialgleichung. Die Lösung einer solchen Differenzialgleichung erhält man, indem man eine Funktion einsetzt, die im Wesentlichen mit ihrer 2. Ableitung übereinstimmt. Eine solche Funktion ist z.B.:

Schwingungen können sich überlagern. Dazu benutzen wir zwei Sinusgeneratoren mit angeschlossenen Lautsprechern und gleicher Amplitude. Zunächst werden beide Generatoren auf die gleiche Frequenz eingestellt. An ein Oszilloskop wird ein Mikrofon angeschlossen, das die Schwingungen der Lautsprecher darstellt. Zuerst wird nur ein Generator eingeschaltet und die Amplitude der Schwingung beobachtet. Schaltet man nun den zweiten Generator dazu, können drei Fälle auftreten:

1. Die Gesamtschwingung hat eine größere Amplitude als der einzelne Generator. Dies ist dann der Fall, wenn beide Schwingungen annähernd in Phase sind.

2. Die Gesamtschwingung hat eine kleinere Amplitude als der einzelne Generator. Hier ist die Phasenverschiebung relativ groß.

3. Die Gesamtschwingung ist praktisch Null. Die Phasenverschiebung zwischen beiden Generatoren beträgt annähernd 180°, d.h. wenn die Membran des einen Lautsprechers z.B. nach vorn schwingt, dann schwingt die Membran des anderen Lautsprechers gerade nach hinten. Die beiden Kräfte heben sich also gegenseitig auf.

Die Überlagerung zweier Schwingungen lässt sich besonders einfach mit Zeigerdiagrammen darstellen:

Die Zeigerlänge entspricht jeweils der Amplitude der Schwingung. Da beide Schwingungen die gleiche Frequenz haben, laufen beide Zeiger mit gleicher Geschwindigkeit durch den Kreis; der Winkel j₀ zwischen beiden Zeigern ist also konstant (Abb. 226.1). Man nennt ihn Phasenverschiebung. Die Amplitude der Gesamtschwingung erhält man durch vektorielle Addition der beiden Zeiger (Abb. 226.2). Auch dieser Summenvektor durchläuft den Kreis mit der gleichen Geschwindigkeit wie die beiden Einzelvektoren. Die überlagerte Schwingung hat also die gleiche Frequenz wie die Einzelschwingungen.

Haben nun beide Schwingungen die gleiche Amplitude (gleiche Zeigerlänge), sind aber um 180° gegeneinander verschoben, dann ist der resultierende Vektor Null; die beiden Schwingungen haben sich gegenseitig aufgehoben.

Sind die Frequenzen der beiden Schwingungen (leicht) unterschiedlich, haben die beiden Zeiger nicht mehr einen konstanten Abstand. Deshalb ändert sich die Länge des Summenzeigers periodisch; die entstehende Überlagerung ändert also ihre Amplitude, und zwar mit der Differenzfrequenz der beiden Einzelschwingungen. Diesen Vorgang nennt man Schwebung (Abb. 229.2). Bei einem Klavier z.B. werden mit jeder Taste 2 oder 3 Saiten angeschlagen. Hat man auf sie minimal unterschiedliche Frequenzen gestimmt, wird der Klang „lebendiger“; ist die Frequenz aber zu sehr unterschiedlich, klingt das Klavier „schräg“. Auch der Klang eines Orchesters lebt von der minimalen Frequenzdifferenz mehrerer gleich gespielter Instrumente.