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Der Kondensator

0.                   Bezeichnungen und Einheiten

1.                   Was ist ein Kondensator? 

Eine Anordnung aus zwei parallelen Metallplatten mit der Fläche A und dem Abstand d bezeichnet man als Kondensator. Die Platten des Kondensators können Ladungen speichern. Kondensatoren werden daher auch in der Technik in vielen elektronischen Schaltungen eingesetzt. Sie haben dort unterschiedliche Bauformen. Verbreitet ist z.B. eine Anordnung aus zwei langen Metallstreifen, die durch eine nicht leitende Folie von einander getrennt sind und aufgewickelt werden. 

2.                   Die Flächendichte der Ladung und die elektrische Feldkonstante e₀

  Wenn man wissen möchte, wie viele Ladungen ein Kondensator aufnehmen kann, macht man folgenden Versuch: man lädt die Platten entgegengesetzt mit einer bestimmten Spannung auf. Mit einem Ladungslöffel bekannter Fläche nimmt man eine gewisse Anzahl der Ladungen von den Platten ab. Diese Ladungsmenge Q wird gemessen. Man wiederholt den Versuch mit verschieden großen Ladungslöffeln. Man erhält als Ergebnis, dass die Ladungsmenge Q proportional zur Löffelfläche A ist: Q ~ A. Den Quotienten Q/A nennt man Flächendichte s der Ladung. Im weiteren Verlauf des Versuchs bestimmt man die Flächendichte erneut, nachdem man die Spannung U an den Kondensatorplatten bzw. den Plattenabstand verändert d hat. Man erhält die Ergebnisse: s ~ U und s ~ 1/d. Fasst man beide Proportionalitäten zusammen, ergibt sich s ~ U/d. Nun entspricht der Quotient U/d aber der Feldstärke E im homogenen elektrischen Feld. Es ist also auch s ~ E. Der Quotient s/E ist eine Naturkonstante, die vom verwendeten Kondensator unabhängig ist. Man nennt sie elektrische Feldkonstante oder Dielektrizitätskonstante e₀. Sie hat den Wert e₀ = 8,8·10^-12 C/(Vm). Sie hat eine ähnliche Bedeutung wie die Gravitationskonstante g im Gravitationsfeld.

 3.                   Die Kapazität C des Plattenkondensators 

Ersetzt man in der Gleichung e₀ = s/E alle Größen durch die leichter messbaren mechanischen und elektrischen Größen A, d, Q und U, erhält man für die Ladungsmenge Q auf den Kondensatorplatten:

Die Ladungsmenge Q ist also proportional zur Spannung U: Q ~ U. Den Quotienten Q/U nennt man Kapazität C des Kondensators. Sie hat die Einheit 1 Farad = 1F = 1 C/V. Man kann die Kapazität leicht aus den Abmessungen des Kondensators berechnen. Die Gleichung für die Kapazität gilt allerdings nur für einen so genannten Luftkondensator, d.h. zwischen den Platten befindet sich nur Luft.

Beispiel: Wie viel Ladung nimmt ein Kondensator mit A = 0,2m² und d = 0,01m bei U = 1000V auf?

3.1                Dielektrikum

 Nichtleiter bezeichnet man auch als Dielektrika. Füllt man den Raum zwischen den Platten eines Kondensators mit einem Dielektrikum aus, dann bewirkt das elektrische Feld, dass sich die Atomkerne und die Elektronen des Dielektrikums minimal gegen einander verschieben. Hierdurch entstehen Polarisationsladungen an der Oberfläche des Dielektrikums. Weil aber zwischen den Polarisationsladungen starke Rückstellkräfte wirken, wird verhindert, dass die Polarisationsladungen genau so groß werden wie die felderzeugenden Ladungen. Dies ist nämlich bei der Influenz der Fall: weil in einem Metall die Elektronen leicht verschiebbar sind, werden die Influenzladungen ebenso groß wie die Feldladungen.

Die Polarisation bewirkt also, dass die Feldstärke im Inneren des Kondensators sinkt. Da aber die Anzahl der felderzeugenden Ladungen gleich bleibt, muss sich die Kapazität des Kondensators ändern:

 Die Spannung U wird also kleiner, und damit muss die Kapazität C größer werden. Umgekehrt kann man auch sagen: bei Gegenwart eines Dielektrikums können bei gleicher Spannung mehr Ladungen gespeichert werden 

In der Formel für die Kapazität des Kondensators geht der Einfluss des Dielektrikums in die Konstante e_r ein. Sie stellt das Verhältnis C/C₀ dar (C₀: Kapazität im Vakuum) und heißt Dielektrizitätszahl. Ihr Wert reicht von 1 (Vakuum) über etwa 10 (Glas) bis zu einigen 1000 (Keramik). Damit lassen sich technische Kondensatoren herstellen, die vergleichsweise große Kapazitäten bei kleinen Abmessungen haben.

4.                   Die Entladekurve eines Kondensators 

In der Stellung „E“ des Schalters wird der Kondensator C entladen, weil ein Strom durch den Widerstand R fließt. Für die Stromstärke I gilt I = Q / t. Da aber durch das Entladen auch die Ladespannung U_C sinkt, ändert sich auch I zeitlich. I ist also eine Funktion der Zeit t:  . Um den genauen zeitlichen Verlauf der Stromstärke I(t) zu erhalten, muss man Dt sehr klein wählen; Dt strebt also gegen Null. Damit wird aus dem Differenzenquotienten die Ableitung:

.

Für die Entladespannung U_R am Widerstand gilt nach dem Ohm´schen Gesetz: 

Die drei vorkommenden Spannungen U₀, U_C und U_R hängen zusammen nach . Es gilt also für die Spannung .          (1)

Wir wollen nun eine Gleichung für I(t) entwickeln:

Es gilt zunächst die „Kondensatorgleichung“ Q = C·U, hier also:

Wir setzen in diesen Ausdruck Gleichung (1) ein und erhalten:

(2)

Bei Gleichung (2) handelt es sich um eine Differentialgleichung, d.h. eine Gleichung, in der eine Funktion und ihre Ableitung(en) vorkommen. Lösungen einer Differentialgleichung sind Funktionen.

Um eine solche Gleichung zu lösen, versucht man zunächst, die Gleichung durch „Randbedingungen“ zu vereinfachen. Solche Randbedingungen sind im vorliegenden Fall, dass die Zeit t₀, zu der die Messung startet, Null ist und die Ladung Q(t) zum Zeitpunkt t₀=0 den Wert Q₀ hat. Außerdem ist die äußere Spannung U₀=0. Damit wird aus der Differentialgleichung:

  (3)

Zur weiteren Lösung müssen wir Gleichung (3) integrieren. Nach den Regeln der Integralrechnung ergibt die linke Seite der Differentialgleichung den natürlichen Logarithmus (ln):

(4) 

5.                   Die Ladekurve des Kondensators

Die Herleitung der Ladekurve verläuft ähnlich wie bei der Entladekurve. Der Unterschied besteht aber darin, dass beim Aufladen die äußere Spannung U₀ nicht Null ist. Damit lautet die Ausgangsgleichung

Man leitet diese Gleichung zunächst ab; dabei wird die rechte Seite Null und man erhält eine Differentialgleichung für I (denn Q’(t)=I(t), und Q’’(t)=I’(t)). Ohne jetzt auf alle Details der Lösung einzugehen, erhält man am Schluss:

 Die Gleichung entspricht also bis auf das Vorzeichen der Entladekurve.

 6.                   Die Halbwertzeit T_H

Die Zeit, in der die Spannung beim Entladen auf die Hälfte des ursprünglichen Werts abgesunken ist, bezeichnet man als Halbwertzeit T_H. Sie lässt sich wie folgt berechnen:

7.                   Die Energie des geladenen Kondensators

 Ein geladener Kondensator enthält Ladungen, zwischen den Platten besteht eine Potenzialdifferenz (Spannung) U. Wegen W = Q·U enthält der Kondensator daher auch eine Energie. Dies wird beim Entladen deutlich: ein geladener Kondensator kann z.B. ein angeschlossenes Lämpchen oder eine Leuchtdiode kurzzeitig leuchten lassen, ohne dass er mit einer Spannungsquelle verbunden ist.

Nun hängen aber beim Kondensator Ladung und Spannung über die Kondensatorgleichung Q = C·U zusammen; sie sind proportional zu einander. Wäre die Spannung beim Aufladen konstant, könnte man die Energie W einfach als Produkt aus U und Q berechnen (Abb. 329.1a). Der tatsächliche Spannungsverlauf entspricht aber Abb. 329.1b. Ändert man Q nur sehr wenig, dann ändert sich auch U nur wenig. Man erhält dann annähernd das in 329.1b dargestellte schmale Rechteck DW = UDQ. Addiert man alle so entstandenen Rechtecke, erhält man die Gesamtarbeit.

Mathematisch entspricht diese Vorgehensweise wieder der Integration, wenn man das Intervall DQ gegen Null streben lässt. Dann ergibt sich für die Arbeit: 

Dies entspricht – wie erwartet – dem Flächeninhalt des Dreiecks, das durch die Gerade U(Q) und der Q-Achse im Diagramm 329.1b gebildet wird.

 8.                   Schaltung von Kondensatoren 

8.1    Parallelschaltung

Eine Parallelschaltung zweier Kondensatoren kann man so verstehen, dass sich die Plattenflächen A der beiden Kondensatoren addieren. Wegen  addieren sich dann auch die Kapazitäten:

                 C_ges = C₁ + C₂ + C₃ + …

8.2    Reihenschaltung

Die Reihenschaltung von Kondensatoren kann man so auffassen, dass an den beiden äußersten Platten die Spannung U anliegt und sich auf den beiden inneren Platten Influenzladungen bilden. Da die beiden inneren Platten verbunden sind, tragen sie die Gesamtladung Null; die Ladung befindet sich also auf den äußeren Platten. Diese haben nun aber den doppelten Abstand gegenüber einem Kondensator. Wegen  

 wird die Kapazität bei zwei Kondensatoren kleiner als bei einem Kondensator. Es addieren sich die Kehrwerte der Kapazitäten:       

Andererseits teilt sich die Gesamtspannung auf die Kondensatoren auf, d.h. jeder einzelne Kondensator liegt an einer geringeren Spannung als der Gesamtspannung. Daher kann man durch eine Reihenschaltung einen Kondensator mit zwar geringerer Kapazität, aber größerer Spannungsfestigkeit erzeugen.