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                                                          Schwingungen

1.1  Grundbegriffe

1.1.1 Auslenkung (Elongation) s(t)

Die Auslenkung gibt an, wie weit der schwingende Körper (Oszillator) von seiner Ruheposition entfernt ist. Die Auslenkung ist zeitabhängig.

1.1.2 Amplitude

Als Amplitude bezeichnet man die maximale Auslenkung eines Oszillators aus seiner Ruhelage (also die Lage der beiden Umkehrpunkte). Die Amplitude ist also eine Konstante.

1.1.3 Schwingungsperiode

Als Schwingungsperiode bezeichnet man den Abschnitt zwischen zwei Durchgängen der Schwingung durch einen bestimmten Punkt (z.B. die Ruhelage) in gleicher Richtung.

1.1.4 Periodendauer T

Die Periodendauer ist die Zeit, die für das Durchlaufen einer Schwingungsperiode benötigt wird.

1.1.5 Frequenz f; Kreisfrequenz (Winkelgeschwindigkeit) w

Die Frequenz gibt die Anzahl der Perioden pro Sekunde an; es gilt: f= 1/T. f wird in der Einheit Hertz (Hz) gemessen: 1Hz=1 s^-1. Die Kreisfrequenz oder Winkelgeschwindigkeit gibt die Geschwindigkeit Schwingung an. Es gilt:  w = 2pf oder w = 2p/T.

1.1.6 Rückstellkraft F_R

Wenn ein Oszillator nicht in seiner Ruhelage ist, wirkt eine Rückstellkraft F_R auf ihn. Ihre Größe hängt ab von der Auslenkung; sie weist immer in Richtung der Gleichgewichtlage.

1.2  Harmonische Schwingungen

1.2.1 Definition

Eine Schwingung heißt harmonisch, wenn die Rückstellkraft F_R auf einen Oszillator proportional zur Auslenkung aus der Ruhelage ist. Es gilt dann ein lineares Kraftgesetz: F=-Ds (D: „Federkonstante“).

1.2.2 Der Nachweis einer harmonischen Schwingung

Wir hatten definiert, dass eine Schwingung harmonisch ist, wenn das lineare Kraftgesetz F=-Ds gilt (das Minuszeichen gibt an, dass die Kraft der Auslenkung entgegen gerichtet ist). Nehmen wir an, dass auch hier die 2. Newton´sche Grundgleichung F=ma gilt, erhalten wir:

ma=-Ds

Bringt man die konstanten Größen m und D auf eine Seite der Gleichung, erhält man:

Der Quotient aus Beschleunigung und Auslenkung ist also bei einer harmonischen Schwingung ebenfalls konstant; oder:

a~s

1.2.3    Die mechanische harmonische Schwingung eines Federpendels

Eine Schwingung nennt man harmonisch, wenn die rücktreibende Kraft proportional zur Auslenkung s ist und somit das hookesche Gesetz F = -D·s gilt. Das Minuszeichen setzt man, weil Kraft und Auslenkung jeweils in die entgegengesetzte Richtung zeigen.

 Darstellung der trigonometrischen Funktionen f(x)=sinx, g(x)=cosx und h(x)=-sinx:

1.2.4  Das Zeit-Elongations-Gesetz der harmonischen Schwingung aus der Projektion einer Kreisbewegung

Projiziert man eine Kreisbewegung und ein schwingendes Federpendel gleichzeitig an die Wand, erkennt man, dass beide Bewegungen identisch sind. Man kann daher die Schwingung aus der Kreisbewegung herleiten.

Für die Auslenkung (Elongation) des Federpendels aus der Ruhelage gilt: . Die Amplitude der Schwingung entspricht dem Kreisradius r. Damit ergibt sich für das Zeit-Elongations-Gesetz:

Der Phasenwinkel j lässt sich auch durch die Winkelgeschwindigkeit w ausdrücken:

1.2.5          Das Zeit-Geschwindigkeits-Gesetz der harmonischen Schwingung

Die Momentangeschwindigkeit v(t) einer Schwingung zu einem bestimmten Zeitpunkt t erhält man, wenn man an die Funktion s(t) an dieser Stelle die Tangente legt. Die Steigung der Tangenten ergibt den Wert der Momentangeschwindigkeit. Führt man dies für alle Punkte der Funktion s(t) durch und zeichnet die Tangentensteigungen in Abhängigkeit von der Zeit t in ein Diagramm, dann erhält man eine neue Funktion. Die Funktion f´(x) der Tangentensteigungen nennt man Ableitung der Funktion f(x). 

Der Verlauf der Ableitung der Sinusfunktion entspricht der Cosinusfunktion. Die Geschwindigkeit ist am größten in der Gleichgewichtslage der Schwingung, an den Stellen der maximalen Elongation (d.h. der Amplitude) ist sie Null. Elongation und Geschwindigkeit zeigen zwischen Gleichgewichtslage und Amplitude in die gleiche Richtung; an den Umkehrpunkten kehrt sich die Richtung der Geschwindigkeit jeweils um.

Beachten Sie, dass bei der Ableitung die Kettenregel („innere Ableitung mal äußere Ableitung“) angewendet werden muss. Wenn die unabhängige Variable die Zeit t ist, kann man für die Ableitung auch die Schreibweise benutzen. Das Produkt stellt die Amplitude der Geschwindigkeit dar.

1.2.6          Das Zeit-Beschleunigungsgesetz der harmonischen Schwingung

Bei einer harmonischen Schwingung ist auch die Beschleunigung zeitabhängig. Sie ist dort, wo die Geschwindigkeit ihre Richtung ändert, am größten und in der Gleichgewichtslage Null. Ihre Richtung ist der Richtung der Auslenkung entgegen gesetzt.

Da die Beschleunigung allgemein definiert ist als die zeitliche Geschwindigkeitsänderung, erhält man den Momentanwert der Beschleunigung analog zur Momentangeschwindigkeit aus der Funktion v(t). Die Beschleunigung ist die Ableitung der Geschwindigkeit bzw. die zweite Ableitung der Elongation:

Beachten Sie, dass die Ableitung der Funktion g(x)=cosx die Ableitung g´(x)=-sinx ergibt!

 Die Ableitungsregeln lassen sich übrigens nicht nur auf Schwingungen, sondern auf alle Bewegungen anwenden. Für die beschleunigte lineare Bewegung ergibt sich so:

1.2.7       Die Schwingungsdauer und die Eigenfrequenz des Federpendels

Zu jedem Zeitpunkt einer Schwingung gilt, dass neben der Rückstellkraft F_R=-Ds auch die Grundgleichung der Mechanik F=ma Gültigkeit hat. Man kann also setzen:

m·a = -D·s

Ordnet man die Gleichung so, dass die zeitlich abhängigen Größen a(t) und s(t) auf der einen und die zeitlich unabhängigen, d.h. konstanten Größen m und –D auf der anderen Seite des Gleichheitszeichens stehen, erhält man:

Die Lösung dieser Differenzialgleichung führen wir so durch, dass wir als Lösungsfunktion die Sinusfunktion wählen:

Hieraus lässt sich die Schwingungsdauer T und die Frequenz f des Federpendels bestimmen. Es gilt:

Die Schwingungsdauer T hängt somit von der Masse m des schwingenden Körpers und der Federkonstanten D ab. Sie ist jedoch unabhängig von der Amplitude der Schwingung.

1.2.8       Erzwungene Schwingungen, Resonanz

 An einem Kraftmesser ist ein Magnet befestigt, der in eine Spule eintaucht. An die Spule wird ein Sinusgenerator angeschlossen, der ein  periodisch wechselndes Magnetfeld in der Spule erzeugt. Der als Federpendel wirkende Kraftmesser beginnt mit der Frequenz des Spulenmagnetfelds zu schwingen. Erhöht man die Frequenz in der Spule langsam, nimmt die Amplitude der Federpendelschwingung zu, bis sie bei einer bestimmten Frequenz ihr Maximum erreicht. Erhöht man die Frequenz weiter, nimmt die Amplitude wieder ab. Das Maximum wird erreicht, wenn die Erregerfrequenz etwa gleich der Eigenfrequenz f₀ des Federpendels ist. Hier wird die meiste Energie der anregenden Schwingung in die erzwungene Schwingung übertragen.

Auch beim elektromagnetischen Schwingkreis gibt es Resonanz. Zwischen Erregerfrequenz f und Schwingkreisfrequenz f₀ besteht eine Phasenverschiebung. Sie ist annähernd 0°, wenn f<<f₀ ist, 90° wenn f=f₀ ist und 180°, wenn f>>f₀ ist. Diese Phasenverschiebungen gelten auch für mechanische Resonanzfälle.

Die maximale Amplitude wird kleiner, wenn der Oszillator bedämpft wird; beim mechanischen Oszillator kann dies z.B. durch Reibung erfolgen, beim Schwingkreis durch einen in Reihe mit der Schwingkreisspule geschalteten Widerstand. Je größer dieser Widerstand ist, desto mehr wird der Schwingkreis bedämpft.