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Wellen

Während eine Schwingung ein zeitlicher Vorgang ist, muss man eine Welle als einen zeitlichen und räumlichen Vorgang betrachten. Am Anfang steht ein harmonischer Oszillator, dessen Schwingung über eine Kopplung (ein Ausbreitungsmedium) an weitere Oszillatoren weitergeleitet wird. Dabei wird nur die Schwingungsenergie übertragen, aber keine Materie. Alle weiteren Oszillatoren schwingen zeitlich versetzt gegenüber dem 1. Oszillator. Der zeitliche Versatz hängt ab vom Abstand des jeweiligen Oszillators vom „Mutteroszillator“.

2.1  Grundbegriffe

Zu den Begriffen aus der Schwingungslehre kommen noch einige weitere hinzu.

2.1.1 Ausbreitungsgeschwindigkeit c

Sie gibt an, mit welcher Geschwindigkeit sich die Welle vom 1. Oszillator fortbewegt. Beispiel: die Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Schallwelle in Luft beträgt 340 m/s. Sie hängt vom Medium ab. In Eisen beträgt sie z.B. etwa 5000 m/s.

2.1.2 Schnelle v

Als Schnelle bezeichnet man die Geschwindigkeit, mit der der Oszillator schwingt. Stehen c und v senkrecht aufeinander, spricht man von einer Transversalwelle. Sind sie gleich gerichtet, nennt man dies eine Longitudinalwelle. Eine Welle, die in einem Seil oder einer Saite erzeugt wird, ist eine Transversalwelle. Schallwellen sind Longitudinalwellen.

2.1.3 Wellenlänge l

Als Wellenlänge bezeichnet man den Abstand zweier gleichphasig schwingender Oszillatoren einer Welle. Es besteht folgender Zusammanhang: c=lf.

2.2  Die Wellengleichung

Ein Körper, der an der Stelle x schwingt, wird erst nach der Zeit t_x=x/c von der Welle erfasst. Seine Gleichung lautet daher:

2.3  Überlagerung von Wellen; Interferenz

Zwei Wellen, die sich auf demselben Träger ausbreiten, überlagern sich in ihren Auslenkungen. Dabei addieren sich ihre Auslenkungen vektoriell, d.h. unter Beachtung ihrer Schnellerichtungen. Weisen beide Schnellen in dieselbe Richtung, ist die resultierende Auslenkung größer als die Einzelauslenkungen (konstruktive Interferenz). Ist ihre Schnellerichtung entgegengesetzt, ist die Auslenkung kleiner. Zwei Wellen können sich auslöschen, und zwar dann, wenn bei der Überlagerung gleich große, aber entgegengesetzt gerichtete Auslenkungen zusammentreffen (destruktive Interferenz).

Ist der Gangunterschied d (d.h. der Phasenunterschied beider Wellen) 0 oder ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge (d=kl; k=0,1,2,3,...), tritt maximale Verstärkung ein.

Ist der Gangunterschied d ein ungeradzahliges Vielfaches der halben Wellenlänge ( ; k=0,1,2,3,...), tritt maximale Abschwächung ein.

2.4  Stehende Wellen

Laufen zwei Wellen gleicher Frequenz und Amplitude auf demselben Träger entgegen, überlagern sie sich derart, dass an bestimmten Stellen die Amplitude 0 (Knoten), an bestimmten anderen Stellen die Amplitude maximal (Bäuche) ist. Knoten und Bäuche haben jeweils einen Abstand von einer halben Wellenlänge voneinander.

Die Gleichung der stehenden Welle erhält man, wenn man die Gleichungen der hin- und der rücklaufenden Welle addiert:

Der Sinusterm ist der zeitabhängige, der Cosinusterm der ortsabhängige Teil der stehenden Welle. Letzterer gibt an, wie groß die Amplitude an einer bestimmten Stelle der stehenden Welle wird.

2.5  Das Huygenssche Prinzip

1.     Teil: Jeder Punkt einer Wellenfront kann als Ausgangspunkt einer Elementarwelle aufgefasst werden.

2.     Teil: Die Einhüllende vieler Elementarwellen ist die Wellenfront.

Mit dem Huygensschen Prinzip lassen sich viele Welleneigenschaften deuten, z.B. die Reflexion:

JAVA-Applet Huygens

2.6  Der Doppelspaltversuch

Trifft eine Welle (z.B. Licht) auf einen Doppelspalt, der in seinen Abmessungen klein ist gegenüber der Wellenlänge, entsteht gemäß dem Huygensschen Prinzip in jedem der beiden Spalte eine Elementarwelle, die sich anschließend überlagern und interferieren. Zur Interferenz ist es notwendig, dass das Licht kohärent ist, d.h. dass in beiden Spalten eine Welle entsteht, die bezüglich der anderen Welle eine feste Phasenbeziehung hat. Diese Bedingung wird von Laserlicht gut erfüllt. Da eine Glühlampe aus vielen unabhängigen einzelnen Lichtquellen besteht, ist ihr Licht nicht kohärent.

Auf einem entfernten Schirm entsteht ein Muster aus hellen und dunklen Streifen; entsprechend der konstruktiven bzw. destruktiven Interferenz der beiden Lichtwellen. In einem Punkt des Schirms entsteht dann ein Helligkeitsmaximum, wenn die beiden dort auftreffenden Lichtstrahlen in gleicher Phase ankommen. Dies ist dann der Fall, wenn der Unterschied in der Entfernung Spalt-Schirm (Gangunterschied) 0 oder ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge ist (siehe auch 2.3). Ein Minimum entsteht bei einem Gangunterschied von einem ungeradzahligen Vielfachen der halben Wellenlänge.

 Da der Abstand Spalt-Schirm sehr groß ist im Vergleich zum Abstand der beiden Spalte, kann man von einem parallelen Verlauf der beiden Lichtstrahlen ausgehen. Dann lässt sich über einfache trigonometrische Beziehungen eine Bedingung für das Auftreten eines Maximums bzw. Minimums formulieren:

Für das k. Maximum gilt: d=kl.

Für sehr kleine Winkel (<1°) ist der Wert des Sinus eines Winkels gleich seinem Tangenswert. Dann kann man gleichsetzen:

Für größere Winkel muss man z.B. die Tangensgleichung nach a auflösen und in die Sinusgleichung einsetzen.

2.7  Das optische Gitter

Wesentlich schärfer als beim Doppelspalt werden die Maxima bei einem Gitter. Ein Gitter ist ein Netz aus sehr vielen feinen Linien. Hier überlagern sich sehr viele Wellen. Nur wenn der Gangunterschied benachbarter Wellen ein Vielfaches der Wellenlänge ist, kommt es zur konstruktiven Interferenz. Bei allen anderen Gangunterschieden finden sich immer Paare von Wellen, die sich gegenseitig auslöschen. Die Bedingungen für Maxima und Minima entsprechen denen  beim Doppelspalt. Allerdings sind besonders bei Gittern mit vielen Linien (mehr als 1000 Linien/cm) die Winkel zum ersten Maximum bereits so groß, dass die oben genannte Näherungsrechnung nicht mehr zulässig ist.

So berechnet sich der Abstand d_k des k-ten Maximums von der Nulllinie wie folgt:

Beispiel 1:             Welchen Abstand vom Maximum nullter Ordnung haben die ersten drei Maxima, wenn man das monochromatische Licht eines Helium-Neon-Lasers (l = 633nm) durch ein Gitter mit 300 Spalten/mm auf einer a=3,50m entfernten Wand beobachtet? 

                  Für die Gitterkonstante g ergibt sich der Wert 1/300mm = 1/300000m = 3,33·10^-6m. Damit gilt:

 Besteht das Licht, das durch das Gitter geschickt wird, nicht nur aus einer Wellenlänge, überlappen sich die Spektren ab einer bestimmten Ordnung.

Beispiel 2:             Ab welcher Ordnung überlappen sich bei sonst gleichen Bedingungen wie im Beispiel 1 die sichtbaren Spektren des weißen Lichts?

                    Weißes Licht besteht aus Wellenlängen zwischen 400nm (violett) und 800nm (rot). Man muss also die Abstände d_k für die verschiedenen Ordnungen k für diese Grenzwellenlängen berechnen und untersuchen, ab welcher Ordnung ein Abstand höherer Ordnung kleiner ist als ein Abstand niedrigerer Ordnung. Die folgende Tabelle zeigt dies:

Das Spektrum 2. Ordnung beginnt gerade dort, wo das Spektrum 1. Ordnung aufhört. Die violette Grenze des Spektrums 3. Ordnung hat jedoch einen kleineren Abstand als die rote Grenze 2. Ordnung; es findet also ab der 3. Ordnung eine Überlappung statt.