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Wechselstromkreise

Ohmscher, kapazitiver und induktiver Widerstand

 

Größe

Formelzeichen

Einheit

Einheitenzeichen/Wert

Leistung (Energiestrom)

P=U·I=R·I²

Watt

W

Spannung

U

Volt

V

Stromstärke

I

Ampère

A

frequenzabh. Widerstand

X

Ohm

W

Kapazität

C

Farad

F

Induktivität

L

Henry

H

(Kreis-) Frequenz

w

Sekunde-1

s-1

 

1.                   Effektivwerte; ohmscher Widerstand im Wechselstromkreis

Betreibt man eine Glühlampe oder einen Toaster, die für eine Wechselspannung von 230V ausgelegt sind, statt dessen mit einer Gleichspannung von 230V, leuchtet die Lampe genauso hell bzw. wird der Toaster genauso heiß wie beim Betrieb mit Wechselspannung. Die Angabe „230V“ bezieht sich bei Wechselspannung nicht auf den Spitzenwert der Spannung, sondern auf den so genannten Effektivwert:

 

Wenn ein Wechselstrom in einem Stromkreis mit einem ohmschen Widerstand R die mittlere Leistung  hervorruft, ordnet man ihm als Effektivwert Ieff die Stromstärke zu, die ein Gleichstrom hat, der im gleichen Stromkreis die gleiche mittlere Leistung   bewirkt:                               .

Für einen sinusförmigen Wechselstrom mit dem Scheitelwert  gilt:              

 

Den Nachweis für die Formel für den Scheitelwert  kann man relativ einfach mathematisch herleiten:

 

Liegt an einem ohmschen Widerstand eine sinusförmige Wechselspannung , dann ergibt sich für die Stromstärke:

 

Für die Wärmeleistung des Widerstands erhält man:

Die Momentanleistung schwankt periodisch (siehe Abb. links). Für den Mittelwert der Leistung gilt:

Setzt man , dann erhält man , analog zur Formel P=R·I² bei Gleichstrom. Für die Effektivspannung gilt analog .

Bei ohmschen Widerständen im Wechselstromkreis gelten die gleichen Gesetze wie im Gleichstromkreis.

Wenn bei einer Wechselspannung bzw. einem Wechselstrom nur von U und I die Rede ist, dann sind in der Regel die Effektivwerte ge­meint.

Zum Effektivwert 230V der in Europa üblichen Netzwechselspannung gehört demnach eine Spitzenspannung von 325V.

 

2.                   Kapazitiver Widerstand im Wechselstromkreis

Versuch: Ein Kondensator (C=100mF) wird in Reihe mit einem Glühlämpchen geschaltet und mit einer Wechselspannungsquelle verbunden. Im Gegensatz zu einer Gleichspannungsquelle leuchtet das Lämpchen.

 

Erklärung: Scheinbar leitet der Kondensator Wechselstrom. Tatsächlich wird er jedoch dauernd umgeladen. Da bei jeder Ladungsänderung ein Strom fließt, leuchtet die Lampe. Die Stromstärke im Stromkreis hängt ab von der Frequenz der Wechselspannung und von der Kapazität des Kondensators (jeweils proportional).

 

Für die Ladung am Kondensator gilt: . Wenn der Kondensator geladen ist, hat die Spannung ihren Höchstwert, während die Stromstärke I=0 ist. Die Stromkurve eilt daher der Spannungskurve um eine Viertelperiode vor:

 

 

Als kapazitiven Widerstand XC bezeichnet man im Wechselstromkreis mit einer Kapazität C das Verhältnis aus den Scheitelwerten von Spannung und Stromstärke.

 

Die Bezeichnung „kapazitiver Widerstand“  erfolgt entsprechend der Definition R = U/I im Gleichstromkreis. Zur besseren Unterscheidung vom frequenzunabhängigen ohmschen Widerstand R verwendet man oft ein „X“ als Formelzeichen.

Für die Leistung gilt weiterhin P = U·I, jedoch nicht P = XCI², weil Strom und Spannung gegeneinander phasenverschoben sind.

 

3.                   Induktiver Widerstand im Wechselstromkreis

Versuch: Eine Spule wird in Reihe mit einem Glühlämpchen geschaltet und mit einer Wechselspannungsquelle verbunden. Das Lämpchen leuchtet umso schwächer, je größer die Induktivität und die Frequenz ist.

 

Erklärung: Durch Selbstinduktion wird in der Spule eine Gegenspannung erzeugt. Diese Gegenspannung ist proportional zur Induktivität und zur Änderungsgeschwindigkeit des Stroms.

 

Vernachlässigt man den ohmschen Widerstand der Spule, dann gilt:

 

 

 

 

Die Stromstärke eilt der Spannung eine Viertelperiode hinterher. Bei maximaler Spannung ist auch die Selbstinduktionsspannung maximal; somit ist hier die Stromstärke minimal. 

Als induktiven Widerstand XL bezeichnet man im Wechselstromkreis mit einer Induktivität L das Verhältnis aus den Scheitelwerten von Spannung und Stromstärke.

 Für die Leistung gilt auch hier weiterhin P = U·I, jedoch nicht P = XLI², weil Strom und Spannung gegeneinander phasenverschoben sind.